Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R là một trong những dạng toán về tính đơn điệu của hàm số. Vì R cũng là một khoảng từ âm vô cùng đến dương vô cùng, đây là trường hợp đặc biệt của hàm đơn điệu trên một khoảng. Đối với dạng toán này, chúng ta nên biết điều kiện để hàm số đơn điệu trên R. Đồng thời, chúng ta cũng cần lưu ý một số trường hợp đặc biệt để áp dụng cách giải quyết nhanh chóng. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các bạn giải nhanh dạng toán này.
Mục Lục
Hàm số đồng biến trên R hàm số nghịch biến trên R
Trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên là hàm số phải xác định trên R đã.
Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên R. Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên R khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Hàm số y=f(x) xác định trên R.
- Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên R.
Ở điều kiện thứ 2 chúng ta cần chú ý là y’ có thể bằng 0 nhưng chỉ được bằng 0 tại hữu hạn điểm (hoặc số điểm mà đạo hàm bằng 0 là tập đếm được).
Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:
Đối với hàm số đa thức bậc 1
Đối với hàm số đa thức bậc 3
Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được
Ví dụ:
Cho hàm số y=x³+2(m-1)x²+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.
Lời giải:
Để y=x³+2(m-1)x²+3x-2 đồng biến trên R thì (m-1)²-3.3≤0⇔-3≤m-1≤3⇔-2≤m≤4.
Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợp hàm số suy biến.
Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số
Ví dụ:
Cho hàm số y=mx³-mx²-(m+4)x+2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Lời giải:
Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m=0, hàm số trở thành y=-x+2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m≠0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m<0 đồng thời m²+3m(m+4)≤0. Giải các điều kiện ra ta được -3≤m<0.
Kết hợp 2 trường hợp ta được -3≤m≤0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.